线面垂直的判定定理的证明

今日听几位老师的公开课，激起了一些想法，把自己之前的一些疑问搞清楚了，做一篇日志记之.

线面垂直的判定定理

一条直线和平面内的两条相交直线垂直，则与这个平面垂直.这是几何原本卷11命题4.原来看证明，绕来绕去，没太能看懂.今天想明白了.就是要在一个新的平面里证线线垂直. 欧几里得采用的方法是全等，以两条相交直线为底，作两个等腰三角形.通过全等的证明，得到其他的线和空中的点仍构成等腰三角形，然后三线合一，证线线垂直.

另外也可以通过纯计算的方法，证明垂直.利用勾股定理逆定理.如果直线上点是任意的，那么用定比分点公式，向量模长，经过复杂的计算，得到证明.优化的方法是：只需对这个点是线段中点进行证明即可.利用中线长公式，简单计算可得.

这引发一个问题：两条相交直线，和不在这两条线上的一点，如何作一条线段，刚好使这个点平分所截的线段.这是一个解析几何计算题.

开始想的是作调和线束，然后过这个点与线束的一条线平行.调和线束可以通过作圆再加反演得到.

求助于Deepseek.其给出了一个更简单的作法，倍长交点和这个点的连线，过倍长后的端点分别作两直线的平行线.所得平行四边形的另一条对角线即所求线段.

另一个组合数问题

组合数$C_n^x=C_m^y$，除了$x=y,m=n$或$m+n=x=y$或$n=1$或$m=1$外，还有没有其他的情形？